[01] Introduction

1. Linear system

Additivity와 Homogeneity를 만족해야 한다.

• Additivity: $f(a+b) = f(a)+f(b)$
• Homogeneity: $f(ca) = cf(a)$

 

1.1. Time invariant, Spatially invariant, Fixed parameter H

Input과 Output의 관계가 유지되는 시스템이라고 생각하면 된다.

 

1.2. Casual H

특정 input 전에는 output이 없는 경우를 의미한다.

 

1.3. Stable H

Bounded input에 대해 output도 bounded인 경우를 의미한다.

 

위의 성질들은 linear system인지 확인하기 위해서 알아야 한다.

Example) 다음 시스템은 linear한가요?

 

1.4. Linear system Characterization

$f(x)$가 unit impulse라고 하자.

만약 H가 fixed parameter라면 H[] = h(x,a)가 된다.

 

Impulse response

어떤 input이어도 impulse response를 알면, output을 알 수 있게 된다.

Convolution integral로 불리기도 한다.

 

Fourier transform 기반의 convolution을 진행하면 다음과 같다.

 

결과를 보면, 두 func()의 convolution 연산에 F.T.을 사용하면 각각의 fuc()에 F.T.를 하고 곱한 것과 같은 것을 확인할 수 있다.  Linear 연산의 특징이며, linear filtering의 시초가 되기도 한 결과이다.

 

Convolution Theorem

$$ f(x)g(x) <=> H(u)*F(u) $$

 

$$g(x)=f(x)*h(x)$$

$$G(u)=H(u)F(u)$$

 

$$g(x) = F^{-1}[G(u)]=F^{-1}[H(u)F(u)]$$

 

Original도 단순하게 inverse F.T.를 통해 구하면 되서 연산량에 어마어마한 이점을 가지게 된다.